그래프 알고리즘- union·find, mst - kruskal·prim, topology

목차

1. 서로소 집합 :: union-find
2. 신장 트리 :: Spanning Tree 
   
   1. 크루스칼 알고리즘
   2. 프림 알고리즘
3. 위상 정렬 :: Topology Sort

 

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# 1. 서로소 집합 :: Disjoint Sets

"서로소 부분 집합들로 나누어진 원소들의 데이터를 처리하기 위한 자료구조"

- 서로소 집합을 union-find 자료구조 라고 부르기도 한다.

 

- union과 find, 이 2개의 연산으로 조작할 수 있다.

 

1. union : 

    - 2개의 집합을 하나의 집합으로 합치는 연산이다. 

2. find : 

    - 특정한 원소가 속한 집합이 어떤 집합인지 알려주는 연산

 

- 스택과 큐 자료구조가 push와 pop 연산으로 이루어졌던 것처럼, 서로소 집합 자료구조는 union과 find 연산으로 구성된다.

 

- 트리 자료구조를 이용하여 집합을 표현한다.

 

 

* 구현 과정

1. union 연산을 확인하여, 서로 연결된 두 노드 A, B를 확인한다.
   1. A와 B의 루트노드 A' , B' 를 각각 찾는다.
   2. A' 를 B' 의 부모 노드로 설정한다. (B' 가 A' 를 가리키도록 한다.)
2. 모든 union (합집합) 연산을 처리할 때까지 1번 과정을 반복한다. 

    - 실제로 구현할 떄는 A' 와 B' 중에서 더 번호가 작은 원소가 부모 노드가 되도록 구현하는 경우가 더 많다

    - 특정 원소의 루트를 찾기 위해서는 재귀적으로 부모를 거슬러 올라가야 한다. 

 

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        return find_parent(parent, parent[x])

    return x


# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

 

- find() 함수가 비효율적이다. 최악의 경우 find 함수가 모든 노드를 확인하여, 시간복잡도가 O(V)가 된다. 

- 결과적으로 최종 시간복잡도는 노드의 개수가 V개이고 find 혹은 union 연산의 개수가 M개일 때, O(VM)이 되어 비효율적이다.

- 경로 압축(Path Compression) 기법을 적용하면 find 연산의 시간 복잡도를 개선시킬 수 있다. 

    → find 함수를 재귀적으로 호출한 뒤에 부모 테이블 값을 갱신하는 기법이다. 

# 기존의 find 함수를 다음과 같이 변경하면 경로 압축 기법의 구현이 완료된다.
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

- 자식 노드들이 바로 위 부모노드를 가리키는 것이 아닌, 무조건 루트 노드를 가리키게 된다. 

- 결과적으로, find 연산에서 루트 노드에 더욱 빠르게 접근할 수 있다는 점에서 기존의 기본적인 알고리즘과 비교했을 떄 시간 복잡도가 개선된다. 

 

 

* union-find의 활용 : 사이클 판별

- 무방향 그래프 내에서의 사이클을 판별할 떄 사용할 수 있다.

- 방향 그래프에서의 사이클 여부는 DFS를 이용하여 판별할 수 있다.

 

* 구현 과정

1. 각 간선을 확인하며 두 노드의 루트 노드를 확인한다.
   1. 루트 노드가 서로 다르다면 두 노드에 대하여 union 연산을 수행한다.
   2. 루트 노드가 서로 같다면 사이클이 발생한 것이다.
2. 그래프에 포함되어 있는 모든 간선에 대하여 1번 과정을 반복한다.

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])

    return parent[x]


# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b


# 노드의 개수와 간선(union 연산)의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())

# 부모 테이블 상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
parent = [i for i in range(v+1)]

cycle = False   # 사이클 발생 여부

for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    # 사이클이 발생한 경우 종료
    if find_parent(parent, a) == find_parent(parent, b):
        cycle = True
        break
    else:       # 사이클이 발생하지 않았다면 union 수행
        union(parent, a, b)

if cycle:
    print("사이클이 발생했습니다.")
else:
    print("사이클이 발생하지 않았습니다.")

"""
3 3
1 2
1 3
2 3
>> 사이클이 발생했습니다.
"""

 

 

 

# 2. 신장 트리 :: Spanning Tree

"하나의 그래프가 있을 때 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프"

 

- 모든 노드가 포함되어 서로 연결되면서 사이클이 존재하지 않는다는 것은 트리의 성립 조건이기도 하기 때문에 신장 트리하고 부르는 것이다. 

 

- 신장 트리 중에서 최소 비용으로 만들 수 있는 신장 트리를 찾는 알고리즘을 '최소 신장 트리 알고리즘'이라고 한다. 

 

 

# 2-1. MST - 크루스칼 알고리즘 :: Kruskal Algorithm

- 가장 적은 비용으로 모든 노드를 연결할 수 있는데, 크루스칼 알고리즘은 그리디 알고리즘으로 분류된다. 

- 모든 간선에 대하여 정렬을 수행한 뒤에 가장 거리가 짧은 간선부터 집합에 포함시킨다. 이 때, 사이클을 발생시킬 수 있는 간선의 경우, 집합에 포함시키지 않는다.

 

* 구현 과정

1. 간선 데이터를 비용에 따라 오름차순으로 정렬한다.
2. 간선을 하나씩 확인하며 현재의 간선이 사이클을 발생시키는지 확인한다.
   1. 사이클이 발생하지 않는 경우 최소 신장 트리에 포함시킨다.
   2. 사이클이 발생하는 경우 최소 신장 트리에 포함시키지 않는다. 
3. 모든 간선에 대하여 2번의 과정을 반복한다. 

* 시간복잡도

- 간선의 개수가 E일 때, O(ElogE)의 시간 복잡도를 가진다.

- 왜냐하면 크루스칼 알고리즘에서 시간이 가장 오래 걸리는 부분이 간선을 정렬하는 작업이며, E개의 데이터를 정렬했을 때의 시간 복잡도는 O(ElogE)이기 때문이다.

- 크루스칼 내부에서 사용되는 서로소 집합 알고리즘의 시간 복잡도는 정렬 알고리즘의 시간 복잡도보다 작으므로 무시한다. 

 

def find_parent(parent, x):
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]


def union(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b


v, e = map(int, input().split())
parent = [i for i in range(v+1)]

# 모든 간선을 담을 리스트와 최종 비용을 담을 변수
edges = []
result = 0

# 모든 간선에 대한 정보를 입력받기
for _ in range(e):
    a, b, cost = map(int, input().split())
    # 비용 순으로 정렬하기 위해서 튜플의 첫 번째 원소를 비용으로 설정
    edges.append((cost, a, b))


# 간선을 비용 순으로 정렬
edges.sort()

# 간선을 하나씩 확인하며
for edge in edges:
    cost, a, b = edge
    # 사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합으로 포함
    if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
        union(parent, a, b)
        result += cost

print(result)

 

 

 

# 2-2. MST - 프림 알고리즘 :: Prim Algorithm

- 프림 알고리즘 역시 MST를 찾기 위한 그리디 알고리즘이다. 

 

* 구현 과정

1. 임의의 정점을 선택하여 비어있는 T 에 포함시킨다. (T는 트리 집합)
2. T에 있는 노드와 T에 없는 노드 사이의 간선 중 가중치가 최소인 간선을 찾는다. 
3. 찾은 간선이 연결하는 두 노드 중, T에 없던 노드를 T에 포함시킨다. 
4. 모든 노드가 T에 포함될 때까지 1, 2번을 반복한다.

- 처음 선택했던 임의의 정점으로부터, 서서히 영역 확장을 해간다고 생각하면 된다.

    - 크루스칼은 노드를 여기저기 뽑아다가 마지막에 연결되는 방식이었다. 

 

* 시간 복잡도

- 방법 1은 배열을 사용하며, T와 각 노드를 연결하는 최소 간선 가중치를 찾기 때문에 O(V^2)이다.

- 방법 2는 최소 힙(min heap)을 사용하여 최소의 간선 가중치를 찾는 방법이며, 시간 복잡도는 O(E logE) = O(E log V)이다. 

    - T 안에 있는 노드가 출발점인 간선들을 모두 최소 힙에 넣어주면 된다. 

 

 

* 소스코드 1 (최종 MST는 그릴 수 없음. 최종 MST를 구하려면 더 아래 코드)

import heapq

v, e = map(int, input().split())
graph = [[] for i in range(v+1)]

for _ in range(e):
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a].append((b, c))     # (노드, 거리)
    graph[b].append((a, c))     # 무방향 그래프임을 가정하였으므로 양쪽 다 추가

start = 1       # 시작 정점을 1로 선택
visited = set()     # 방문한 정점을 저장하는 집합
q = [(0, start)]    # 간선을 저장할 최소 힙 리스트

mst = []    # 최소 신장 트리를 저장하는 리스트
res = 0     # 최종 비용을 담는 변수
while q:
    dist, now = heapq.heappop(q)

    if now in visited:      # 이미 방문한 경우 스킵
        continue
    visited.add(now)        # 방문 처리

    mst.append((now, dist)) # 최소 신장 트리에 현재 간선 추가
    res += dist

    # 현재 정점과 연결된 간선을 최소 힙에 추가
    for n, d in graph[now]:
        if n not in visited:
            heapq.heappush(q, (d, n))


print(res)

 

 

- 지금은 최종비용만 나오는데, 그래프를 그리고 싶다면 어떻게 해야할까?

    → mst 배열에 노드와 거리 값이 포함되어 있어 다시 복기하면 되겠지만, 만약 중복되는게 있다면??? 

    → 그러기 위해서 아래와 같이 큐에 부모 노드도 포함해서 넣어주면 되겠다. 

 

* 소스코드 2 (최종 MST를 그릴 수 있음)

import heapq

v, e = map(int, input().split())
graph = [[] for i in range(v+1)]

for _ in range(e):
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a].append((b, c))     # (노드, 거리)
    graph[b].append((a, c))     # 무방향 그래프임을 가정하였으므로 양쪽 다 추가

start = 1       # 시작 정점을 1로 선택
visited = set()     # 방문한 정점을 저장하는 집합
q = [(0, start, start)]    # 간선을 저장할 최소 힙 리스트. 최종 그래프를 구하기 위해서 부모 노드도 세번째 원소로 넣어준다.

mst = []    # 최소 신장 트리를 저장하는 리스트
res = 0     # 최종 비용을 담는 변수
while q:
    dist, now, parent = heapq.heappop(q)

    if now in visited:      # 이미 방문한 경우 스킵
        continue
    visited.add(now)        # 방문 처리

    mst.append((parent, now, dist))     # 최소 신장 트리에 현재 간선 추가. (부모, 자식, 거리)
    res += dist

    # 현재 정점과 연결된 간선을 최소 힙에 추가
    for n, d in graph[now]:
        if n not in visited:
            heapq.heappush(q, (d, n, now))  # 부모 노드도 함께 heap에 저장한다.


print(mst)
print(res)


"""input
7 9
1 2 29
1 5 75
2 3 35
2 6 34
3 4 7
4 6 23
4 7 13
5 6 53
6 7 25

>> [(1, 1, 0), (1, 2, 29), (2, 6, 34), (6, 4, 23), (4, 3, 7), (4, 7, 13), (6, 5, 53)]
>> 159
"""

 

# 3. 위상 정렬 :: Topology Sort

"방향 그래프의 모든 노드를 '방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 것'"

 

- 대표적인 예시로 '선수과목을 고려한 학습 순서 설정'이 있다. 

 

- 먼저 진입차수(Indegree)를 알아야 한다. 

     - 진입차수 : 특정 한 노드로 '들어오는' 간선의 개수

         - 예) 선수과목이 2개라면 진입차수는 2이다. 

 

* 구현 과정

1.  진입차수가 0인 노드를 큐에 넣는다.
2. 큐가 빌 때까지 다음의 과정을 반복한다.
   1. 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 출발하는 간선을 그래프에서 제거한다.
   2. 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣는다. 

- 모든 원소를 방문하기 전에 큐가 빈다면 사이클이 존재한다고 판단할 수 있다. 

- 한 단계에서 큐에 들어가는 원소가 2개 이상인 경우가 있다면, 여러 가지 답이 존재하게 된다. 

 

* 시간복잡도

- O(V+E) 이다. 

- 위상 정렬을 수행할 때는 차례대로 모든 노드를 확인하면서, 해당 노드에서 출발하는 간선을 차례대로 제거해야 한다.

- 결과적으로 노드와 간선을 모두 확인한다는 측면에서 O(V+E)의 시간이 소요되는 것이다.