최단 경로 찾기

- 최단 경로 알고리즘 유형에는 다양한 종류가 있는데, 상황에 맞는 효율적인 알고리즘이 이미 정립되어 있다.

 

1. 다익스트라 최단 경로 알고리즘  ✅
2. 플로이드 워셜 알고리즘  ✅
3. 벨만 포드 알고리즘

 

# 다익스트라 최단 경로 알고리즘

- 그래프에서 여러 개의 노드가 있을 때, 특정한 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구해주는 알고리즘

- '음의 간선'이 없을 때 정상적으로 동작한다. 

- 실제로 GPS 소프트웨어의 기본 알고리즘이다. 

 

- 기본적으로 그리디 알고리즘으로 분류된다. 매번 '가장 비용이 적은 노드'를 선택해서 임의의 과정을 반복하기 때문

1. 출발 노드를 설정한다.
2. 최단 거리 테이블을 초기화한다
3. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다.
4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 게산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다.
5. 위 과정에서 3과 4번을 반복한다.

 

- 다익스트라 알고리즘은 최단 경로를 구하는 과정에서, '각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리' 정보를 항상 1차원 리스트에 저장하며 리스트를 계속 갱신한다. 

- 다익스트라 알고리즘은 한 단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히 찾는 것으로 이해할 수 있다.

 

- 다익스트라 알고리즘은 정확히 이해하고, 코드에 숙달되어 있어야 한다!

 

 

 

 

# 방법 1. 간단한 다익스트라 알고리즘

- O(V^2)의 시간복잡도를 가지며, V는 노드의 개수를 의미한다. 

- 단계마다 '방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택'하기 위해 매 단계마다 1차원 리스트의 모든 원소를 확인(순차 탐색)한다.

 

- 총 O(V)번에 걸쳐서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 매번 선형 탐색해야 하고, 현재 노드와 연결된 노드를 매번 일일이 확인하기 때문에, 시간 복잡도는 O(V^2)이다.

- 문제에서 전체 노드의 개수가 5,000개 이하라면 아래 코드로 가능하지만, 10,000개를 넘어가면 힘들다. 

 

import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9)

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())

# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())

# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n+1)]

# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n+1)

# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n+1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())  # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))


# 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
    min_value = INF
    index = 0       # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
    for i in range(1, n+1):
        if distance[i] < min_value and not visited[i]:
            min_value = distance[i]
            index = i

    return index


def dijkstra(start):
    # 시작 노드에 대해서 초기화
    distance[start] = 0
    visited[start] = True
    for j in graph[start]:
        distance[j[0]] = j[1]

    # 시작 노드를 제외한 전체 n-1 개의 노드에 대해 반복
    for i in range(n-1):
        # 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
        now = get_smallest_node()
        visited[now] = True

        # 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
        for j in graph[now]:
            cost = distance[now] + j[1]
            # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[j[0]]:
                distance[j[0]] = cost


# 다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n+1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INF)라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i], end=' ')

 

 

 

# 방법 2. 개선된 다익스트라 알고리즘

- 이 방법은 최악의 경우에도 시간복잡도 O(E log V) 를 보장한다. 이때 V는 노드의 개수이고, E는 간선의 개수를 의미한다.

- 간단한 다익스트라 알고리즘은 '최단 거리가 가장 짧은 노드'를 찾기 위해서, 매번 최단 거리 테이블을 선형적으로(모든 원소를 앞에서부터 하나씩) 탐색해야 했다.

- 이 과정에서만 O(V)의 시간이 걸렸다. 

 

- 이 방법에서는 최단거리가 가장 짧은 노드를 단순히 선형적으로 찾는 것이 아니라 더욱더 빠르게 찾을 수 있게 한다. 

    → 힙 자료구조를 사용한다.

- 최단 거리에 대한 정보를 힙에 저장하면, 선형시간이 아닌 로그 시간이 걸린다. 

 

 

* 힙

- 우선순위 큐 : 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제

- 파이썬에서는 우선순위 큐가 필요할 때 PriorityQueue 혹은 heapq를 사용할 수 있는데, 이 두 라이브러리는 모두 우선순위 큐 기능을 지원한다. 

- 데이터가 (가치, 물건)으로 구성되어 있을 때, 첫 번째 원소인 '가치' 값이 우선순위 값이 된다. 

- 우선순위 큐를 구현할 때는 내부적으로 최소 힙 혹은 최대 힙 을 이용한다.

- 최소 힙은 값이 낮은 데이터가 먼저 삭제되며, 최대 힙을 이용하는 경우 값이 큰 데이터가 먼저 삭제된다.

- 파이썬에서는 최소 힙 구조를 사용하며, 다익스트라 알고리즘에서는 비용이 적은 노드를 우선으로 방문하므로 최소 힙 구조를 기반으로 하는 파이썬의 우선순위 큐 라이브러리를 그대로 사용하면 적합하다.

 

- 최소 힙을 최대 힙처럼 사용하기 위해서 일부러 우선순위에 해당하는 값에 음수 부호(-)를 붙여서 넣었다가, 나중에 우선순위 큐에서 꺼낸 다음에 다시 음수 부호(-)를 붙여서 원래의 값으로 돌리는 방식을 사용할 수 있다.

 

- 힙 자료구조는 삽입과 삭제에 모두 O(logN)의 시간복잡도를 가진다. 

- 힙 자료구조에 N개의 데이터르 모두 넣으면 O(NlogN)이다. 

 

- 최소 힙을 이용하는 경우 힙에서 원소를 꺼내면 '가장 값이 작은 원소'가 추출되는 특징이 있다. 

 

 

* 힙 적용

- 파이썬의 heapq 라이브러리는 원소로 튜플을 입력받으면 튜플의 첫 번째 원소를 기준으로 우선순위 큐를 구성한다. 

- 따라서 (거리, 노드) 순서대로 튜플 데이터를 구성해 우선순위 큐에 넣으면 거리순으로 정렬된다. 

 

- 방법 1과 비교했을 때, get_smallest_node()라는 함수를 작성할 필요가 없다.

- '최단 경로가 가장 짧은 노드'를 선택하는 과정을 다익스트라 최단 경로 함수 안에서 우선순위 큐를 이용하는 방식으로 대체할 수 있기 때문이다.  

 

 

 

import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9)

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력 받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n+1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n+1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))


def dijkstra(start):
    q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0

    while q:    # 큐가 비어있지 않다면
        # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
        if distance[now] < dist:
            continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))


dijkstra(start)

for i in range(1, n+1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INF)라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INF")
    else:
        print(distance[i], end=' ')

 

 

* 결론: 수행과정

1. 시작 노드 번호 입력 받기, 각 노드에 연결되어 있는 노드 정보를 리스트에 저장
2. 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
3. q 라는 리스트를 만들고, (거리, 노드) 즉 (0, start) 점 heappush 
4. distance[start] = 0
5. 이제 whilq q: 로 계속 반복문 돌아
6. heappop을 하고, 거기에 있던 거리 값이 저장되어 있는 거리 값보다 크면 무시. 이미 앞에서 처리했다는 뜻이므로
7. for i in graph[now] 로, 꺼낸 노드에 연결된 모든 노드에 대하여,
8. 새로운 거리 값을 만들고, 그거랑 비교해서 더 작다면, 교체하고, heappush

 

# 2. 플로이드 워셜 알고리즘

'모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구해야 하는 경우'

 

- 다익스트라처럼 단계마다 '거쳐 가는 노드' 를 기준으로 알고리즘을 수행한다.

- 하지만 매번 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리를 갖는 노드를 찾을 필요가 없다. 

 

- 노드의 개수가 N개일 때, 알고리즘상으로 N번의 단계를 수행하며, 단계마다 O(N^2)의 연산을 통해 '현재 노드를 거쳐 가는' 모든 경로를 고려한다.

- 따라서 플로이드 워셜 알고리즘의 총 시간 복잡도는 O(N^3)이다. 

 

- 다익스트라 알고리즘은 그리디 알고리즘인데 반해, 플로이드 워셜 알고리즘은 다이나믹 프로그래밍이라는 특징이 있다. 

- N번 만큼의 단계를 반복하며 '점화식에 맞게' 2차원 리스트를 갱신하기 때문에 다이나믹 프로그래밍이라고 볼 수 있다. 

 

" 'A에서 B로 가는 최소 비용'과 'A에서 K를 거쳐 B로 가는 비용' 을 비교하여 더 작은 값으로 갱신한다. "

 

-

INF = int(1e9)

# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())

graph = [[INF]*(n+1) for _ in range(n+1)]

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for i, j in zip(range(1, n+1), range(1, n+1)):
    graph[i][j] = 0

# 각 간선에 대한 정보를 입력받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
    # A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a][b] = c

# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n+1):
    for a in range(1, n+1):
        for b in range(1, n+1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k]+graph[k][b])

# 수행된 결과를 출력
for a in range(1, n+1):
    for b in range(1, n+1):
        # 도달할 수 없는 경우, 무한이라고 출력
        if graph[a][b] == INF:
            print('INF', end=" ")
        else:
            print(graph[a][b], end=" ")
    print()

 

 

* 결론: 수행과정

1. 2차원 배열인 graph 생성
2. 자기 자신은 0으로
3. 주어진 각 간선들 그대로 넣기
4. graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k]+graph[k][b])

 

 

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# 다익스트라 vs 플로이드-워셜

- 다익스트라는 인접 리스트를 사용하고, 플로이드-워셜은 인접 행렬을 사용한다. 

 

- 어떤 문제를 만나든, 메모리와 시간을 염두에 두고 알고리즘을 선택해서 구현하자.

- 예를 들어 최단 경로를 찾아야 하는 문제가 출제되었을 때,

    - 노드의 개수가 적은 경우에는 플로이드 워셜 알고리즘을 이용할 수 있다. 

    - 노드와 간선의 개수가 모두 많으면 우선순위 큐를 이용하는 다익스트라 알고리즘을 이용하면 유리하다.

 

 

- 기타 그래프 알고리즘은 다음 포스트에서!